计算顺序为什么会改变答案：用解谜游戏教函数复合与逆推
Hiro · Game Designer @ StudyXMath Gates使用指南
拿一个数4。先加2，再乘3，得到18。先乘3，再加2，得到14。同一个数，同样两步，答案不同。
大多数孩子只把这件事当作读算式的规则来学：先乘除，后加减。但我认为，规则底下的那个想法要大得多，也有趣得多。把运算一步接一步地做，就是函数的复合，而先后顺序会改变结果。我设计 Math Gates 时，最希望孩子在有人给它起名字之前，先用手感受到的，就是这一点。这篇文章收集了我反复用到的几个小例子，写给想在餐桌上或白板上试一试的家长和老师。
两种顺序，两个答案
用开头那一对，再换几个起始数试试。
| 起始数 | +2 再 ×3 | ×3 再 +2 |
|---|---|---|
| 4 | 6，然后18 | 12，然后14 |
| 5 | 7，然后21 | 15，然后17 |
| 10 | 12，然后36 | 30，然后32 |
两个答案总是差4。这里值得停一下，因为注意到这一点的孩子，已经在问一个数学家会问的问题：为什么总是4？
原因是，在第一种顺序里，+2 穿过了 ×3，变成了 +6。写成式子，(x + 2) × 3 是 3x + 6，而 x × 3 + 2 是 3x + 2。不管从哪个数开始，差都是6减2。不必给八岁的孩子看代数式，只要问一句「那个2后来怎么样了？」，让他自己顺着走一遍就够了。
顺序无关的时候
看到哪些时候顺序没有影响，同样重要。先 +3 再 +5，和先 +5 再 +3 一样。先 ×2 再 ×3，和先 ×3 再 ×2 一样。两个加法可以交换，两个乘法也可以交换。一旦两种混在一起，就不行了。
我喜欢让孩子自己把一对对步骤分成「可以交换」和「不能交换」两类。他们通常以为全都能交换，因为学加法时就是这样学的，所以第一个反例会让他们吃惊。这份吃惊，就是这一课本身。
这和「运算顺序」不完全是一回事
学校里说的「运算顺序」，通常是指读算式的约定：4 + 2 × 3 等于10而不是18，因为先算乘法。这条规则关于写法，它告诉你怎么读别人写下的式子。
复合说的是你实际上一步一步做了什么。把它写下来的方式是括号：(4 + 2) × 3 是18，4 × 3 + 2 是14。我认为，孩子一旦亲身感受到两种顺序真的是两台不同的机器，就会更自然地接受括号。括号不再是随意的规定，而是说清楚你指的是哪台机器的唯一方法。
把机器倒着开
复合真正有意思的地方在于往回走。4乘3得12，加2得14。怎么从14回到4？
每一步都用相反的运算抵消，顺序也要反过来。先减2，得12；再除以3，得4。反过来做就行不通：14除以3不是整数。
这和穿衣服一样。先穿袜子再穿鞋，所以脱的时候先脱鞋。孩子早就知道这一点，只是还没把它和数字联系起来。
逆推
同样的想法，也能变成解题的工具。假设从3出发，要得到20，手上有一个 +2 和一个 ×4。
可以把两种顺序都试一遍。也可以从20开始，问最后一步是什么。如果最后一步是 ×4，那它前面是5，而5就是3 + 2。成立：先 +2，再 ×4。如果最后一步是 +2，那前面是18，而18不是3 × 4。这个顺序不对。
只有两步时，乱猜也差不多快。到了四五步、选项又多的时候，逆推会快得多，因为每往回走一步，就能排除一批本来要逐个尝试的候选。以后学方程，大部分工作就是回答「放进去的是哪个数」，所以我觉得这是孩子能带进代数里最有用的习惯之一。
永远不变的东西
有些步骤具有不用计算就能依靠的性质。乘以2，结果一定是偶数。加2，不会改变一个数是奇数还是偶数。
从7开始，需要得到一个偶数。加多少次2都行：9、11、13，永远到不了。乘一次2，就是14。问题从来不是「要几步」，而是「要哪一种步骤」。
数学上把这种性质叫作不变量。孩子不需要知道这个词。他们需要的是这样的经历：不再多试一次 +2，而是停下来，意识到这种做法根本行不通。
不用应用也能试
有纸和笔就够了。
- 画两个框。 并排写上「+2」和「×3」。让孩子选一个数，先预测出来的是什么，再算一遍。把两个框交换，再预测一次。
- 计算之前，先问预测。 培养理解的是预测，计算只是用来验证。
- 玩「猜猜我的机器」。 大人把规则藏起来，孩子报数，大人给出结果，孩子来猜框里是什么。
- 倒着开机器。 「我的机器出来的是14，放进去的是几？」
- 请孩子用自己的话说出发现了什么。 如果他能说「加法和乘法混在一起时，顺序会改变结果」，他就懂了。
数字要小。重点是结构。如果每一步都要费力去算，结构就会被计算挡住。
关于 Math Gates
Math Gates 是我围绕这些想法做的解谜游戏。一个带着数字的比特在盘面上笔直前进。你放下会改变数字的门，和让路径折转90度的镜子，终点的端口只接受一个特定的值。因为比特只走直线，先经过哪个门，由你把它放在哪里决定。想先加、再翻倍，就只能用镜子把路径折过来，让它先碰到加法门。函数复合变成了一个看得见的布局问题。
游戏不会事先解释上面这些想法。一放下棋子，路线就会画出来，所以是先读懂再按「运行」，而不是乱猜。过关后会出现一张卡片，给你刚才做的事起个名字，并写出背后的式子，比如「乘和加，顺序不一样结果就不一样」或「+2 不会改变奇偶」。手上的门总是比需要的多一个，用最少的门过关才能拿到三颗星，所以总有理由去找更短的机器。从加减法到逻辑，共7个世界140道题，适合8岁以上。游戏免费，过关之间有广告，一次性购买可以去掉广告。
如果计算本身还很慢，值得另外练习，因为一个孩子若把注意力全用在 12 + 2 上，就没有余力去看结构了。这方面我会推荐我们的手写心算练习应用 StudyX MathCal。
我认为，运算的先后顺序，是孩子能独自发现的第一批真正属于数学的想法之一。开始只需要一支笔、两个框，和数字4。
