数独的难度由什么决定

数独的书和应用，几乎都会给题目标上「简单」「困难」这样的难度。那么，难度是由什么决定的呢？我想很多人会认为，一开始给出的数字（提示数）越少，题目就越难。

先说结论：提示数和难度关系不大。决定难度的，是要解到最后需要用到什么技巧。这篇文章用 Sudoku365 收录的1200道题的数据来确认这一点。

提示数几乎没有差别

Sudoku365 有“简单”“中等”“困难”“专家”四个难度，各300题，共1200题。我按难度数了这1200道题的提示数。

难度	提示数（平均）	最少到最多
简单	25.1	25～27
中等	25.2	25～27
困难	24.0	21～27
专家	24.7	22～28

每个难度的平均提示数都在24到25个左右。「简单」和「专家」的平均只差0.4个。「专家」里甚至有提示数为28个的题，比「简单」里任何一道题都多。

提示数有下限。根据英文维基百科的 Mathematics of Sudoku 条目，答案唯一的数独至少需要17个提示，这是2014年麦圭尔等人的论文用计算机穷举搜索证明的。在17个以上，同样的提示数，既能做出简单的题，也能做出难题。

决定难度的是需要的技巧

数独的技巧，大致可以分成几个层次：

1. 在宫里，某个数字只有一个位置可以放。 选定一个数字，用行和列排除
2. 在行、列或宫里，某个数字只有一个位置可以放。 把第1条扩展到宫以外
3. 某一格只能填一个数字。 关注一格，排除同行、同列、同宫里出现过的数字
4. 宫与行、列的关系。 如果某个数字在一个宫里只能放在某一行，那么这一行的其他宫里就可以排除这个数字
5. 预约，以及两格、三格的组合。 利用候选数之间的关系
6. X-Wing、剑鱼、XY-Wing 等。 有名字的进阶技巧
7. 这些都定不下来时，耐心地推理

第1到4条写在数独怎么解：初学者最先要学的基本技巧，第5和6条写在数独进阶技巧里。

第1到3条不用写候选数，在脑子里就能用。从第4条开始，要有候选数才看得出来。我认为，一道题的难度，取决于要用到这个列表的第几条才能解到最后。

关键在于，难度是由「最难的那一处」决定的。即使几乎所有格子都能用简单技巧填上，只要剩下的某处需要用一次 X-Wing，不会 X-Wing 就解不开这道题。反过来，即使提示少、要填的格子多，只要每一步都能用第1到3条找到下一格，就只是花时间，算不上难题。

根据英文维基百科的 Sudoku 条目，把数独推广到英国报纸上的韦恩·古尔德，花了六年时间开发出生成题目并评定难度的计算机程序。不是看提示数这样的表面，而是从解法这一侧去衡量人感受到的难度。我想无论在哪里出的题，核心都在这里。

Sudoku365 四个难度需要的技巧

按上面的技巧逐题解 Sudoku365 的题目、确认的结果，我在之前的文章里写过。总结如下：

• 简单： 300题全部只用第1到3条就能解到最后，不需要写候选数
• 中等： 没有一道题只用第1到3条就能解完。加上第4条，约七成能解到最后
• 困难： 300题全部能用到第5条为止的技巧（预约和两格、三格的组合）解到最后
• 专家： 即使用上到第6条为止的全部技巧，能解完的也只有一成左右。多数题还需要更进一步的技巧，或者耐心的推理

提示数几乎相同，需要的技巧却差这么多。我认为可以这样理解：难度的名字表示的是这种差别，而不是提示数。

进到下一个难度的时机

既然难度由技巧决定，那么进到下一个难度的时机，我认为也用技巧来判断最清楚。

• 从简单到中等： 能用第1到3条，不卡住地解到最后时。中等开始要练习写候选数。写法见数独候选数(笔记)的写法
• 从中等到困难： 能自己找出第4条「宫与行、列的关系」时。困难需要预约和组合
• 从困难到专家： 能从候选数里毫不犹豫地找出预约和组合时

在统计里，可以按难度查看「通关数」「最佳时间」「平均时间」。平均时间不再下降时，我认为说明现在这个难度要用的技巧已经掌握了。反过来，如果在更高的难度里总是卡在同样的地方，那就说明缺了某个技巧。这时退回一个难度，练习卡住时本该用的技巧，我想是最近的路。卡住时怎样重新检查，写在数独卡住了怎么办里。

关于 Sudoku365

Sudoku365 是我做的数独应用，iPhone、iPad 和 Android 都能玩。四个难度各300题，共1200题，我确认过1200题全部只有唯一解。

「提示」一开始有10个，每通关一题加1个，看广告也加1个。应用免费，有广告，一次性购买「移除广告」就可以去掉广告。