会数数和懂数不一样：什么是一一对应

到了3岁左右，很多孩子洗澡时能念出「一、二、三、四、五……十」。可是在桌上摆5个橘子，问「有几个？」，孩子却一边指一边数到6；或者数完以后再问「几个？」，又从头开始数。

这不是孩子在调皮。从会念数到懂数，中间有好几个阶段。这篇文章根据发展心理学的研究，写写这些阶段，以及在家能玩的游戏。对象是还没上小学的孩子。

数数的五个原则

研究儿童数数的罗谢尔·格尔曼和兰迪·加利斯特尔，在1978年的著作《The Child’s Understanding of Number》里，把正确数东西需要的条件整理成五个原则。这个整理现在仍常被数的发展研究引用，芭芭拉·萨内茨卡和苏珊·凯里2008年的论文里也讨论过。

开头的「一、二、三……十」，是第二个固定顺序原则已经做到了。不过其余四个可能还没有。

把5个橘子数成6个，常发生在一一对应还不稳定的时候。手指走在前面，声音跟不上；或者声音走在前面，同一个橘子数了两次；或者漏掉了边上的一个。

其实一一对应不用数词也能练。摆好盘子，每个盘子上放一把勺子；每把椅子坐一个人；每双鞋放进一个鞋格。这些都是把两组东西一个一个连起来。在数数之前，生活里多一些这种「一个对一个」的感觉会很好。

数的时候，与其用手指点，不如把数过的东西挪到一边，这样更不容易漏数或重数，因为数过的和没数的，一眼就能分开。

数完后被问「几个？」又重新数的孩子，可能还没掌握第三个基数原则。在他眼里，数数是一种「按顺序念数词、同时用手指点」的仪式。

心理学家卡伦·温1990年的研究，请2到3岁左右的孩子念数，并按要求拿出相应个数的东西，比如「给我3个」。很多孩子会念数、会用手指点，但要过一段时间才能正好拿出要求的个数。

之后的研究认为，孩子先学「1」的意思，再学「2」，再学「3」，花好几个月一个一个学会小数词的意思，然后才明白「数一遍，答最后那个数就行」。上面萨内茨卡和凯里的论文研究的就是这个顺序。以美国孩子为对象的研究中，明白这一点大约在3岁半到4岁，但个体差异很大，并没有几岁必须做到的标准。

还有一个很有名的阶段。把小圆片摆成个数相同的两排，孩子说「一样多」之后，把其中一排拉开。年幼的孩子常会说拉开的那排多。让·皮亚杰把这叫做「数的守恒」，他认为孩子到6到7岁左右，才明白不管怎么摆，数都不变。

不过，这个测验也受提问方式影响。詹姆斯·麦加里格尔和玛格丽特·唐纳森1974年的研究里，不是大人故意把一排拉开，而是让一只「淘气的小熊」不小心把那排弄乱，答对的孩子就多了很多。孩子可能以为，大人特意重新摆过，一定是有什么变了。

第五个顺序无关原则，也和「数不因摆法、数法而改变」的理解连在一起。

3个左右以内，人不用数，一眼就能看出有几个。这在英语里叫 subitizing（英文维基百科）。如果像骰子的点、扑克牌的花色那样按固定形状排列，5和6也能一眼看出来。

数数和一眼看出，是作为两种不同的能力分别成长的。小的数一眼看出，大的数数一数确认。两者能来回切换，就会通向「5是3和2」这样看数的方法。

常有人问，是不是该早点让孩子别用手指数。也有一种看法是，在上小学之前，尽管用就好。

手指是随身带着的一一对应工具。一边数一边一根一根弯下手指，数过的和没数的就分开了。一只手是5、两只手是10，这个形状也能帮助一眼看出数。不用手指也能懂，那是以后的事。关于上学前的数学准备，我也写在上小学前的数学里。

把上面的阶段换成家里的游戏。

分东西。 把点心或折纸一人一个分给家人。这是一一对应的练习。分完问「分了几个？」。

「给我」游戏。 说「拿3个橘子来」。这就是温的研究里的「给我3个」，在家照着做。拿来以后一起数一数确认。

换个摆法再数。 数完5块积木，换个摆法问「现在几个？」。如果不重新数就答「5」，说明顺序无关原则和数的守恒正在形成。

写着数字的格子棋。 格子上从1开始按顺序写着数字的棋盘游戏，每走一步都要说数，数的顺序和大小就能通过身体感受到。罗伯特·西格勒和吉塔·拉马尼2008年的研究里，玩了几次1到10排成一条直线的棋盘游戏的学龄前儿童，在数轴上估计数的位置的测验成绩提高了。

楼梯和洗澡。 上楼梯时一级一级地数，洗澡时数到10再出来。每天在同样的场景数数，就是固定顺序的练习。

每样每次几分钟就够了。3到6岁孩子的专注力能持续多久，写在3 到 6 岁孩子的专注力能持续多久里；怎样和写数字的练习连起来，整理在怎样教幼儿写数字里。

BrainDojo Kids 是我做的、面向 3 到 6 岁孩子的 iPhone 和 iPad 应用，里面有几个和数数有关的训练。

在「数一数」里，屏幕上散落着各种图画，会问「一共有几个？」，或者指定一种图画问它「有几个？」。孩子数完，手写出答案的数字。在混着不同种类的图画中只数一种的题，是在练习自己决定要数什么。年龄设为4岁以上时会出现。

「数手指」是看手势数手指，「数球球」是数球，然后写出数字。年龄设为3岁时，出的是到5为止的「简单数手指」「简单数球球」，4岁以上出到10为止的题。

全家一起玩的「大家一起玩桌游」里，走到某些格子会出现小游戏。其中的「一起数数」，是大家一起指着屏幕上出现的很多东西数，再手写出答案的数字。还有「数手指对战」，两个人面对面坐，数手指，先写出正确数字的人赢。

每天更换的「今日的训练」3 个、「推荐」4 个以及桌游都是免费的，其他游戏也可以各免费试玩一次。订阅高级版（按月或按年）后可以使用全部课程和游戏。家长设置里有每天的使用时长上限，默认开启，为 10 分钟。没有广告，也不需要注册账户。

BrainDojo Kids 入门介绍了最初十分钟要做的事。在应用里数完以后，也可以用眼前的橘子或小圆片照样数一数，这样屏幕里的数和手能摸到的数就会连起来。