分数除法为什么要把除数倒过来

在中国，分数除法一般在小学六年级学习。课本上的法则大家都背过：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。日本也在小学六年级教分数的乘除法（日本文部科学省《小学校学习指导要领》，日文）。

法则本身不难。2/3 ÷ 1/4，就是把 1/4 倒过来变成 4/1，算 2/3 × 4 = 8/3。难的是孩子问“为什么要倒过来”的时候。很多大人记得步骤，却不记得学过理由。这篇文章从三个角度来说明，其中有一个让孩子想通就够了。

全文用我自己定的例子 2/3 ÷ 1/4，答案是 8/3，写成带分数是 2又2/3。

什么是倒数

先统一一个词。乘积是1的两个数，互为倒数。3/4 的倒数是 4/3，因为 3/4 × 4/3 = 1。整数 5 可以看成 5/1，它的倒数是 1/5。

分数的倒数，只要把分子和分母交换位置就得到了。“倒过来”就是求倒数的通俗说法。只有一个例外：0 没有倒数，因为 0 乘任何数都不等于1。这和 0 不能作除数，是同一个原因。

角度一：数一数能装下几份

除法有一个意思，是“里面有几个”。6 ÷ 2，就是 6 里面有几个 2。

照这个意思，2/3 ÷ 1/4 就是“2/3 里面有几个 1/4”。

这样不好比较，所以先通分。2/3 是 8/12，1/4 是 3/12。

2/3 = 8/12  ■■■■■■■■□□□□
1/4 = 3/12  ■■■□□□□□□□□□

把 1/12 看成一小块，问题就变成：8块里面有几个3块，也就是 8 ÷ 3。答案是 8/3。能装下2个整份，还剩下一份里的2块，所以是 2又2/3 份。

这和倒过来相乘的答案一样，而整个过程里根本没有倒过来。通分以后，分数除法就回到了整数除法。

只是每次都通分比较麻烦。可以把“乘除数的倒数”看成是省掉这一步的捷径。

角度二：把除数变成1

除法有一个性质：被除数和除数同时乘同一个数（0除外），商不变。12 ÷ 4 = 3，两边都乘10，120 ÷ 40 还是 3。

利用这个性质，把除数变成1。要让 1/4 变成1，就乘4，而4正是 1/4 的倒数。被除数也乘同样的4。

2/3 ÷ 1/4
= (2/3 × 4) ÷ (1/4 × 4)
= (2/3 × 4) ÷ 1
= 2/3 × 4

除以1，数不变，剩下的只有 2/3 × 4。“乘除数的倒数”在这里自然就出现了。

如果除数是 3/5，能让它变成1的数是 5/3。两边都乘 5/3，剩下被除数 × 5/3。不管除数是什么分数，乘它的倒数都会变成1。我认为，这是“倒过来相乘”最简短的解释。

角度三：求出1份是多少

课本里常用的，是量的问题。

“1/4 升油漆可以刷 2/3 平方米的木板。1升可以刷多少平方米？”

1升是 1/4 升的4倍，能刷的面积也是4倍：2/3 × 4 = 8/3 平方米。列成算式是 2/3 ÷ 1/4，所以这里 ÷ 1/4 也变成了 × 4。

除数的分子不是1的时候，这个角度最有用。来看“2/5 升可以刷 3/4 平方米，1升可以刷多少”。

先求 1/5 升能刷多少。1/5 升是 2/5 升的一半，所以面积也取一半：3/4 ÷ 2
1升是 1/5 升的5倍，再乘5：3/4 ÷ 2 × 5

“除以2，再乘5”，和“乘 5/2”是一样的。用除数 2/5 的分子2去除，用分母5去乘。看起来像是分子分母倒过来了，原因就在这里。画成面积图，这两步会直接出现在图上。

用乘法来验算

还有一个验算的办法。除法是乘法的逆运算，所以 2/3 ÷ 1/4 = □，就是找一个 □，使 □ × 1/4 = 2/3。

把 8/3 放进去：8/3 × 1/4 = 8/12 = 2/3，对了。乘 1/4 会让数变小，要变回去就得乘4。从这里也能看出，÷ 1/4 和 × 4 是同一回事。

不懂道理也能算，但是

不知道为什么要倒过来，分数除法的计算题也能做对。这是事实。

我还是认为，把道理走一遍是值得的。一是不容易倒错。记得目的是“把除数变成1”，就不会去倒被除数。二是列式更顺。懂得“里面有几个”和“1份是多少”的意思，应用题里的除法算式就容易列出来。

给孩子讲的时候，我觉得可以先从角度一的通分讲起。它用的是和整数除法一样的想法，孩子不会觉得在背新规则。然后再把角度二当作省去通分的捷径拿出来。按这个顺序，倒过来相乘看上去就不是“窍门”，而是“方便的办法”。

Math Gates 能帮上忙的地方

Math Gates 是我做的一款回路解谜游戏。在盘面的空格里放上改变数值的“门”和让路线转90度的“镜子”，然后按“运行”，带着数字的比特就会沿直线前进。终点的出口只接收满足条件的值。

7个世界中的第5个“除法电路”，讲的是分数与倒数。从这里开始，÷ 的门遇到除不尽的数，也会以分数的形式通过；求倒数的“1/v”门也会出现。所有数都按分数精确计算，不会出现 0.333… 这样的小数误差。放下一道门，盘面上就会画出比特会以什么值走到哪里。可以对比同一个数经过 ÷ 门和 × 门之后的样子，亲手验证本文写的内容。过关后会出现发现卡片，给你刚才做的事配上名字和算式。

这款游戏的设计方针是“不讲解数学，让人去试”。它不会先用文字告诉你道理，所以想弄懂为什么时，和这样的文章配合使用会比较好。

一共7个世界140道题，面向8岁以上，可以在 iPhone 和 iPad 上玩。可以免费玩，过关之间会有广告，一次性购买可以去除广告。

关于操作顺序为什么会改变答案，可以看计算顺序为什么会改变答案；解谜游戏能培养什么，写在什么是计算思维：解谜游戏能培养什么里。

分数除法要把除数倒过来，是为了让除数变成1。通分也好，求1份也好，最后都会走到同一个地方。从哪条路进去，答案都一样，我认为这是算术有意思的地方。