数独的答案只有一个：唯一解与最少提示数17

数独的规则是：在9×9的格子里填入1到9，使每一行、每一列、每一个3×3的宫里都没有重复的数字。规则本身写在数独规则里。

规则里没有写，但出得好的数独题还有一个约定：答案只有一个。这叫做「唯一解」。这篇文章写唯一解，以及由此得出的一个数学结论：一道题至少需要17个提示数。

什么是唯一解

提示数（一开始就填好的数字）太少的话，符合规则的填法就会有很多种。极端地说，一个提示数都没有的空盘，符合规则的填法多得惊人。根据英文维基百科的 Mathematics of Sudoku 条目，满足规则的9×9完整盘面一共约有 6.67×10²¹ 种。

每放一个提示数，这个数量就会减少。减到正好只剩一种时，才能成为一道题。答案只有一个的题，英文里有时也叫 proper（合格的）题。

唯一解和解题方法的关系

我认为，唯一解是让数独成为「推理谜题」的最重要的原因。

答案只有一个的话，每一格的数字都应该能从提示数出发，只靠逻辑确定。初学者最先要学的基本技巧，都是「这一格只能填这个数」「这个数只能填在这一格」这样的判断。如果一道题有两个答案，就会剩下「填哪个都行」的格子，靠逻辑无法往下走，只能去猜。

高手还会用到直接利用唯一解的技巧。比如两行和两列交叉的4个格子正好分在两个宫里，而且这4格只剩下同样的两个候选数。这两个数字无论怎样对调都符合规则，这样答案就会有两种。既然答案应该只有一个，就选能避免这种形状的候选数。这在英文里叫做「唯一矩形」。

提示数最少是17个

那么，有唯一解的题，最少要有几个提示数？

17个提示数、有唯一解的题，很早就被找到了，收集到的已经有好几万道。但是16个的，不管怎么找都找不到。是16个的题根本不存在，还是只是还没被找到？这在很长时间里都是一个没有解决的问题。

2012年，爱尔兰的加里·麦圭尔（Gary McGuire）等人发表了论文 There is no 16-Clue Sudoku。本质上不同的完整盘面（把通过换数字、旋转等方式能变成一样的盘面算作一种）约有54.7亿种，他们用计算机把每一种都查遍，证明了不存在用16个提示数就能得到唯一解的放法。论文在2014年发表在学术期刊上。由此确定，有唯一解的数独，提示数最少是17个。

这不是可以用手推演的证明，而是查遍所有情况的证明。四色定理的证明也是这样。数学里有好几个问题，就是这样借助计算机的力量解决的。

至少要有8种数字

除了提示数的个数，还有一条很容易看出来的规定：有唯一解的题，提示数里至少要包含1到9中的8种数字。

理由很简单。假设提示数里既没有3也没有7，那么把答案盘面里所有的3和7对调，仍然符合规则，也和提示数不矛盾。这样答案就有两种了。提示数里缺两种数字，就不可能是唯一解。

提示数越少越难吗

提示数少看起来更难，但我认为提示数的多少和难度关系不大。17个提示数的题，也有只用初学者技巧就能解开的。反过来，提示数接近30个，也可能需要高级技巧。

决定难度的不是提示数的个数，而是解题需要用到什么技巧。这一点写在数独的难度由什么决定里。

好像遇到了两个答案时

解题途中，有时会遇到看起来「填哪个数都成立」的格子。我觉得这时应该先怀疑自己有没有看漏。多半是某个地方的候选数忘了擦，或者填的数字错了。

真正有两个答案的题，是出题有缺陷的题。在认真检验过的题集和应用里，几乎不会遇到。

Sudoku365 的题目

Sudoku365 是一款每天都能解的数独应用。有“简单”“中等”“困难”“专家”四个难度，每个难度300题，共1200题。写这篇文章时，我用程序数了全部1200道题的答案个数，确认每一道都只有一个答案。提示数在21个到28个之间，不同难度之间差别不大。

因为答案是确定的，打开“显示错误数字”，填进去的数字对不对，应用会马上告诉你。想自己慢慢确认的时候，也可以关掉。

应用免费，带广告，可以一次性购买“移除广告”来关闭广告。第一道题怎么开始，写在 Sudoku365 入门里。